“从0开始的XLSDFT”

目标：建立“DFT 要解决什么问题”的直觉。

先回答一个根本问题：我们为什么要关心电子？

论文研究的对象——硅晶体、锂金属、LGPS 固态电解质——都由原子组成。每个原子 = 原子核 + 电子。 原子核很重（质量是电子的 1800 倍以上）、移动慢，在“电子级”的讨论里基本是固定不动的背景； 而决定材料导电性、化学反应、电池界面上锂和电解质会不会“打架”的，几乎全是电子在干什么。 所以一切材料模拟的核心，都是“求解电子状态”。

电子不是小球

中学物理把电子画成绕核转的小球，但真实电子太小了（约 10⁻³¹ kg），必须用量子力学描述：

• 无法同时精确知道电子的位置和速度（测不准原理），“轨道”在微观世界不成立；
• 取而代之的是波函数 ψ(r)：电子被描述成一团弥散在空间中的概率云， |ψ(r)|² 表示“在位置 r 处找到这个电子的概率密度”。

单个电子怎么算：薛定谔方程

定态薛定谔方程（全文唯一真正重要的公式，后面所有东西都是它的变形）：

• ψ：电子的波函数（我们要求的东西）；E：电子的能量
• Ĥ：哈密顿量（“总能量算符”）= 动能项 + 势能项：Ĥ = −(ħ²/2m)∇² + V(r)
• 动能项里的 ∇² 是二阶导数：波函数弯得越厉害，动能越高（波函数的弯曲 = 电子的“抖动”）
• V(r)：电子感受到的外部势场，比如原子核对它的吸引

单个电子在已知势场里，这个方程是能解的（氢原子甚至有精确解析解）。

多个电子呢？灾难来了

一块材料里有 N 个电子。N 个电子的波函数不是 N 个单电子波函数，而是一个活在 3N 维空间里的函数：

而且电子之间互相有库仑排斥，每个电子都跟其余所有电子耦合，没法拆成独立小问题——这就是著名的多体问题。

更要命的是维度灾难：把 3N 维空间每维切 100 个格点来存这个波函数，需要 100^(3N) 个数字。 N = 100 个电子时是 10⁶⁰⁰——可观测宇宙的原子总数“才”约 10⁸⁰。指数爆炸，任何超算都存不下。

所以 1929 年狄拉克说：物理和化学所需的全部基本定律都已经知道了， 难的不是定律，而是“定律精确应用得到的方程太复杂，解不出来”。

目标：理解 DFT 的“降维魔法”：把 3N 维波函数问题换成 3 维密度问题。

第 1 课的结论是：直接解 N 电子波函数 ψ(r₁, …, r_N) 是死路（3N 维 + 指数爆炸）。 1964 年，Hohenberg 和 Kohn 换了一个问题问：我们真的需要波函数的全部信息吗？

Hohenberg-Kohn 定理：密度决定一切

• HK 定理一：基态电子密度 ρ(r) 唯一决定外势 V(r)，进而决定哈密顿量、波函数与 一切基态性质。推论：所有性质都是密度的泛函，E = E[ρ]。
• HK 定理二（变分原理）：能量泛函 E[ρ] 在真实基态密度处取最小值—— 猜一个 ρ 算出的能量永远 ≥ 真实值，调 ρ 让能量最低即可逼近真实。

密度 ρ(r) 是从波函数“压缩”来的：把 N 电子波函数对其中 N−1 个电子的坐标积分， 得到 3 维空间里的一个函数——不管 N 多大，ρ 永远活在普通 3 维空间里，维度灾难消失了。

密度的精确定义

读法：先取“电子 1 在 r、电子 2 在 r₂、…、电子 N 在 r_N”的联合概率密度 |ψ|²， 把其余 N−1 个电子的坐标全部积分掉（不再关心它们在哪），再乘 N（任意一个电子都可能是“在 r 的那个”）。 于是 ρ(r)dr = 在 r 附近小体积 dr 里找到任意一个电子的概率——这叫“边缘概率密度”。 全空间积分 ∫ρ(r)dr = N（总电子数），单位是“个电子/体积”。

顺便学一个词：泛函

函数 = 数字 → 数字（f(x) = x²）；泛函 = 函数 → 数字（E[ρ]：喂进去一个密度函数， 吐出来一个能量数字）。类比：BMI 是“身高体重数字”的函数，“全班平均分”是“每个学生成绩”的泛函。

目标：理解 KS 替身方案与自洽迭代（SCF）流程。

HK 定理留下的坑

密度决定一切，但 E[ρ] 的精确形式未知，特别是动能泛函 T[ρ]。 历史上 Thomas-Fermi 直接猜 T[ρ] 的形式，精度差到没法做化学——看来动能不能靠“猜密度”。

Kohn-Sham 的替身方案（1965）：四步拆解总能

真实体系的总能有三项：E = T + E_ee + E_ext（电子动能 + 电子间相互作用 + 电子与外势的相互作用）。其中 E_ext = ∫V_ext(r)ρ(r)dr 只依赖密度、可直接精确算——先放着不动。 然后构造一个假想的无相互作用电子体系，让它的密度与真实体系完全相同： ρ_s(r) = ρ(r)。它的波函数是单电子轨道 φᵢ 的乘积（每个轨道放 2 个电子），动能可以精确算。

1. 动能拆解：T = T_s + (T − T_s)——T_s 精确可算（大头）， (T − T_s) 是真实动能与它的偏差（不知道）
2. 电子间相互作用拆解：E_ee = E_H + (E_ee − E_H)—— E_H = ½∬ρ(r)ρ(r′)/|r−r′| dr dr′ 是“把电子云当连续电荷”的经典库仑排斥，由密度精确算出； (E_ee − E_H) 是量子效应（交换 + 关联），不知道
3. 两坨“不知道的差”装进同一个垃圾桶：E_xc ≡ (T − T_s) + (E_ee − E_H)

从能量到方程：变分法把两者连起来

四步拆解给出了“能量账本”，但账本里有一项没法直接算：T_s[ρ] 只是被隐含定义了 （“同密度无相互作用体系的动能”），并没有一个由 ρ 直接写出的公式（这正是第 2 课说的“动能泛函形式未知”）。 要算 T_s，必须把假想体系的单电子轨道 φᵢ 请出来：

于是能量从“密度的泛函”变成“轨道的泛函” E[φ₁, φ₂, …]。对它做最小化（第 2 课的变分原理： 真实基态密度使 E 取最小），在“轨道归一化”的约束下求极值，极值条件整理出来就是一组单电子方程—— KS 方程。有效势的三块分别来自能量账本中三项的变分：E_ext → V_ext、 E_H → V_H、E_xc → V_xc；T_s 的变分给出方程里的 −½∇² 项。

KS 方程：长得像单电子薛定谔方程

方程形式可解，但势场依赖解本身（V_H、V_xc 都由 ρ = 2Σᵢ|φᵢ|² 算出）→ 必须自洽迭代。

SCF：DFT 计算的骨架

1. 猜初始密度 ρ⁰（通常用各原子密度的简单叠加）
2. 由 ρ 构造有效势 V_eff（解泊松方程得 V_H、算 V_xc）
3. 解 KS 方程 → 轨道 {φᵢ}、能量 {εᵢ}
4. 由轨道重建新密度 ρ′ = 2Σᵢ|φᵢ|²
5. 比较新旧密度：收敛就停；不收敛就混合（ρ ← αρ′ + (1−α)ρ）回到第 2 步

每轮循环叫一次 SCF 迭代——论文所有性能数据都以“秒/SCF 迭代”计时， 收敛判据是相对密度残差小于 5×10⁻⁴。

唯一的近似：E_xc

• LDA：假设每个点 r 的 E_xc 等于“同密度的均匀电子气”——只依赖局部密度
• GGA：再加密度梯度 ∇ρ（论文用的就是 GGA）——更好，但仍是近似

目标：把 KS 方程落到“计算机怎么算”，认识论文涉及的全部技术名词。

连续方程 → 离散方程

计算机只能存有限个数，必须把连续空间离散化，两大流派：

• 基组：用有限个基函数展开轨道 φ = Σⱼcⱼχⱼ。 平面波 PW（VASP/Quantum ESPRESSO/QBox）：谱精度、系统性收敛，但全域离域、并行扩展难； 局域基组（CP2K 高斯 / SIESTA 数值原子轨道）：省通信，但基组误差难系统控制
• 实空间离散：把空间切网格，用有限差分（FD）/有限元（FE）近似导数。 FD：RSDFT、PARSEC、SPARC；FE：DFT-FE。论文走这条路： 12 阶有限差分（每方向 12 个邻点）、网格间距 h ≈ 0.4–0.5 Bohr

论文选实空间 FD 的理由（IV 节）：系统可改进性 + 大规模并行扩展性。

赝势：把芯电子打包

芯电子（如 Si 的 1s²2s²2p⁶）化学惰性，但波函数剧烈振荡 → 网格必须极密、代价爆炸。 赝势把“原子核 + 芯电子”打包成对外层价电子的等效势，波函数变得平滑。 论文用 GGA 模守恒赝势（ONCV），Eq. (1) 里的 V_nl 就是它的非局域部分。

边界条件与采样

晶体 = 周期性重复 → 周期边界条件；k 点采样（论文只取 Γ 点，大超胞近似）。 每轮 SCF 还要解泊松方程 −(1/4π)∇²φ = ρ + b（Eq. 3）来得到静电势 φ。

DFT 能输出什么（论文全用到了）

目标：搞懂 O(N³)/O(N²) 从哪来，建立“长度尺度鸿沟”的直观。

大 O 记号速成

O(f(N)) = 工作量随 N 的增长率 ≈ f(N)（差常数倍）。O(N³)：原子数翻倍 → 计算量 ×8； O(N)：翻倍 → ×2。论文语境：N = 原子数，N_d = 自由度（网格点数，∝N），N_s = 占据轨道数（∝N）。

瓶颈：把 SCF 五步逐个过一遍账单

回到第 3 课的 SCF 循环——复杂度分析就按那五步逐条算。先剧透结论： 全部 O(N³) 都集中在第 ③ 步，其余步骤最多 O(N²)。

第 ③ 步的细节：迭代法只做两种操作

第 ③ 步的任务是求 H 的 N_s 个最低本征对。先问能不能直接算：H 是 N_d×N_d 的矩阵（N_d 百万级），完全对角化要 O(N_d³)， 想都别想。剩下的路只有一条：迭代法——从不构造、从不求逆 H， 从头到尾只做两种便宜操作：把 H 乘到向量上（H×vector）、 向量两两做内积。H 稀疏（12 阶差分，每格点只连 36 个邻点）， 乘一次 H 是 O(N_d)，而不是稠密矩阵乘法的 O(N_d²)。

问题来了：光靠这两种操作，怎么凑出一个能求 N_s 个最低本征对的算法？ 答案是四道工序，每一道都在回答一个绕不开的问题；每答完一个问题， 它那笔成本也就水落石出：

1. 怎么让“乘 H”自己收敛到本征矢？——反复乘（幂迭代）。把初始向量按本征矢展开 v₀ = Σₙcₙψₙ：乘一次 H，每个分量被自己的本征值加权一次；乘 k 次，被 λₙᵏ 加权—— 大本征值的分量指数级胜出，向量自动“拧”向那个本征矢。
2. 幂迭代抓到的是“最大”，可占据态是“最低”的那批怎么办？——滤波。 把“反复乘 H”换成“反复乘 p(H)”：用多项式 p 在低能区放大、在高能区压制 （切比雪夫多项式在区间外指数暴涨——第 6 课的伏笔）。作用一次 p_m(H) = m 次 H×vector，成本明码标价。
3. N_s 个向量一起迭代会塌缩到同一个态怎么办？——正交化。 单向量迭代只收敛到一个本征矢；N_s 个一起跑，必然全部塌向同一个主导态。 所以每轮乘完都要把向量块“掰开”、两两正交，让每个向量去追不同的本征态 （顺带保证数值稳定）——“掰开”就是两两做内积，N_s² 次。
4. 迭代出来的只是“近似子空间”，怎么取出最好的本征对？——Rayleigh-Ritz 投影。 把 H 投影进 N_s 个向量张成的子空间（ΨᵀHΨ 与 ΨᵀΨ），解这个 N_s×N_s 的小本征问题（便宜，O(N_s³)），再旋转回原空间—— 用“小对角化”替代 N_d 维完全对角化，得到“子空间内最优”的本征对近似； 投影同样是 N_s² 个内积。

四道工序循环直到收敛。把它们的成本归拢起来，就是第 ③ 步的内部账单—— 果然从头到尾只有两种基本操作：

• H×vector（矩阵乘向量）：迭代法的唯一原料——方向搜索、残差、滤波全靠 H·v 驱动 （共轭梯度、Lanczos、切比雪夫滤波都是它的变体）。一次 H·v = O(N_d)； N_s 个轨道各做一次 = O(N_d·N_s)。
• 正交化：N_s 个轨道必须两两正交。让第 k 个新轨道与前面 k−1 个旧轨道都正交， 要算 k−1 次内积（每次 O(N_d)）再修正；全部做完共 1+2+…+(N_s−1) ≈ N_s²/2 次内积 → O(N_d·N_s²) ← 平方项在这里。
• Rayleigh-Ritz 投影：每轮迭代末尾把 H 投影到轨道张成的子空间（ΨᵀHΨ）， 同样是 N_s² 个长度 N_d 的内积 → O(N_d·N_s²)，与正交化同阶。

于是：一轮 SCF = O(N_d·N_s²)，而每轮 SCF 都要做一次第 ③ 步 → 总成本 O(N³)（N_d、N_s 都 ∝ N，翻倍 = ×8）。 内存要存 N_s 个轨道、每个 N_d 长 → O(N²) 内存墙。

现状（论文 Table II 里程碑）

常规 O(N³) 代码的“日常”≈ 1000 原子；最大立方标度计算（74k/216k 原子）需要顶级超算—— 结论：常规 DFT 只能覆盖“几纳米”。

长度尺度鸿沟（论文 Fig. 1）

实验能测的电池界面/相间层：几十纳米 ~ 数微米（XPS、ToF-SIMS）；计算能算的：几纳米 → 差 2–3 个数量级，无法把“DFT 算的电子结构观测量”与“实验测的”直接定量对比。

ML 力场（DeePMD 等）能到百万原子，但给不出电子结构观测量 （能带对齐、电荷转移、PDOS 全都没有）——这正是论文 IV-B 论证的缺口。

目标：把第 5 课账单里的每一项，对应到新方法的每一次“换法”，看清成本怎么掉下来。

先剧透：三件套各堵一个洞

第 5 课的结论是：SCF 五步里只有第 ③ 步是 O(N³)，另外还有 O(N²) 的内存墙。 这一课的三件套全部围着“怎么绕开第 ③ 步的原算法”转，分工如下：

1. 密度矩阵 D（换变量）：第 ③ 步贵，是因为它逼着我们求 N_s 个 全域弥散的轨道；换一个局域的变量，就不用再“伺候”这些轨道。
2. 近视性 + 分而治之（切空间）：近视性证明“局域”在物理上成立——发许可证； 分而治之动手，把“一个规模 N 的大问题”换成“K 个规模固定的小问题”。 O(N³) → O(N) 就发生在这里。
3. CheFSI（换求解器）：小问题内部不做完全对角化，改用第 5 课的迭代法 只求占据子空间，把常数再压小。

读完全课再回来对照这个分工表，就不会迷路。

第一件：换基本变量——密度矩阵 D

先想清楚第 ③ 步为什么“切不动”：它要输出 N_s 个轨道 φ_i(x)， 每个都是定义在全空间、长度 N_d 的向量。轨道是全域弥散的 （第 4 课讲基组时见过：平面波全域弥散，电子可以在整个晶体里跑），求一个轨道就要动员 整个体系的网格。空间切分对轨道无效——任何子域都“装不下”一个横跨全体系的轨道， 也就没法“分而治之”。

那就换一个“装得下”的容器——但先回答“为什么可以换”。两步论证：

1. 信息不丢：回到第 3 课，第 ③ 步算出来的轨道，真正被用到的只有一样—— 电荷密度 ρ(x) = 2Σₙ g(λₙ)|ψₙ(x)|²（占据轨道按占据数加权求和）。 把“占据数”和“轨道”打包成一个矩阵：D(x,x′) = Σₙ g(λₙ) ψₙ(x)ψₙ(x′)， 它的对角线正好就是 ρ(x) = 2D(x,x)。也就是说，D 完整携带了“占据子空间 + 各态占据数”的全部信息；而第 2 课的 HK 定理说 ρ 决定一切。 所以从“轨道清单”换成“D”，物理上一分都没丢。
2. 写法合法：第 1 条里的打包式不是随手凑的——把 D 放进 H 的本征基里看， 它就是对角元为 g(λ₁), g(λ₂), … 的对角矩阵；而“函数 g 作用在 H 上”得到的 g(H)， 在同一个本征基里恰好也是这个对角矩阵。所以 D 可以整体写成算子的函数：

g 是费米-狄拉克占据函数：μ = 化学势（费米能级）、σ = k_BT 展宽。 零温时 g(λₙ) 只取 1 或 0——它就是一个“是否占据”的指示器，所以上面的 ρ(x) = 2Σₙ g(λₙ)|ψₙ(x)|² 和第 3 课的 ρ = 2Σᵢ|φᵢ|² 是同一个公式 （第 3 课把“只对占据态求和”当作默认条件，这里把条件显式写进式子）。加 g 的意义在 有限温度：金属在零温下的占据数是费米面处的一个硬台阶（不光滑、没法当函数处理）， 用 σ 展宽把它抹成宽度约 σ 的平滑过渡——占据数变成 0 到 1 之间的分数， g(H) 才是光滑可算的函数。

上面的打包式就是论文 Eq. 4 的谱表示。物理图景：把 D 看成一张“两点之间的事务账”—— 对角元 D(x,x) 是每个点自己的余额（密度的一半，ρ(x) = 2D(x,x)）； 非对角元 D(x,x′) 是两点之间的往来账，衡量 x 与 x′ 两处电子态的相干/关联 （化学上它相当于键级：成键的两原子之间这项大，互不相关的远处这项几乎为零）。

小结：这一步什么都没丢，只是把“N_s 个全域轨道”这个装不进任何子域的容器， 换成了“D”这个新容器。新容器能不能切，看下一件。

第二件：切空间——近视性 + 分而治之

近视性：切空间的许可证（Kohn 1996 提出，论文 Ref [20]）

但换了变量还不够：D 是 N_d×N_d 的大矩阵，看着比轨道还“大”。 真正让切分合法的是下面这条物理事实：绝缘体乃至有限温度金属，D 在实空间指数衰减：

含义：点 x 处的密度 ρ(x) = 2D(x,x)，只由 x 周围半径约 ξ 范围内的哈密顿量决定； 远处的原子动一动，x 处几乎无感。对比一下：单个轨道 ψₙ 可以全域弥散， ψₙ(x)ψₙ(x′) 对远处的两点也可以不小；但把占据态全加起来，各轨道的相位相干相消， 拼出的 D 却局域——远处那笔“往来账”整体抵消掉了。这正是第 2 课 HK 定理的同一路数—— 我们需要的量（密度）比背后的对象（波函数）简单得多、局域得多。

分而治之：动手——把一个大问题换成 K 个小问题

拿到许可证就动手切（论文 Eq. 5-7），四步：

1. 切：全域 Ω 切成互不重叠的核心区 {Ω_C^α}， 拼起来正好覆盖全域、不重不漏。
2. 加保温层：每个核心区外扩一圈厚度 R_buffer 的缓冲层， 核心区 + 缓冲层 = 子域 Ω^α。相邻子域的缓冲层彼此重叠；重叠部分不算数， 只起“把外界扰动挡在外面”的作用。
3. 独立求解：每个子域解自己的小 KS 问题——求局部哈密顿 H^α 的 N_s^α 个最低本征对 {λ_n^α, ψ_n^α}。 子域之间不通信、完全并行。
4. 拼装：全局 D ≈ Σ_α p^α D^α—— p^α 是单位分解：每个点只认领自己所在核心区的那份 D^α，缓冲层里的贡献丢弃。

为什么可以独立求解而不出错？靠的正是近视性：核心区内的解只被核心区周围 ξ 范围内的势影响；只要缓冲层够厚（R_buffer ≫ ξ，论文取 8–9.2 Bohr）， 外界的一切影响都在缓冲层里被“吸收”，进不了核心区 → 核心区内的局部解 ≈ 全域解， 误差随 R_buffer 指数收敛。缓冲层的代价是每个子域算一点重复功， 换来子域之间零耦合。

成本为什么从 O(N³) 掉到 O(N)？就一步代数：

关键纪律：子域大小固定，体系变大只是子域个数 K 变多（K ∝ N）。 每个子域的活一样重，活的份数随 N 线性增加——这就是线性标度的全部秘密。 要是子域大小跟着 N 一起涨，就白切了。

第三件：换求解器——CheFSI（小问题内部也别对角化）

子域里当然可以老老实实做完全对角化，成本 O((N_d^α)³)——它是常数， 不破坏线性标度。但这个常数太大（一个子域也有几万网格点），而且对角化会把 所有本征对都算出来，其中绝大多数是高能空态，我们根本用不上。 CheFSI（Eq. 8-9）把第 5 课的迭代法直接搬进每个子域，只求“张成占据子空间”的那组基， 不白算空态。四步：

• ① Chebyshev 滤波 Ψ_f = p_m(H)Ψ：放大低能占据分量、压制高能分量 （第 5 课的“滤波”工序），只需 m = 24 次稀疏 H×vector，避免对角化；
• ② 投影成小矩阵（ΨᵀHΨ、ΨᵀΨ）；
• ③ 解 N_s^α 维的小广义本征问题；
• ④ 子空间旋转，得到新的轨道基。

子域内每轮迭代 = 滤波 O(m·N_d^α·N_s^α) + 投影 O(N_d^α·(N_s^α)²) + 小本征问题 O((N_s^α)³)—— 还是常数，但比完全对角化小得多；内存也从 O((N_d^α)²) 降到 O(N_d^α·N_s^α)。

核心对照：旧流程的每一步，现在怎么算

把第 5 课的 SCF 五步账单和新流程并排放，变化只发生在三处：

三处变化的理由各不相同：③ 靠“切”（一个大问题 → K 个小问题）； ④ 靠“本地组装”（近视性保证远处的轨道对本地密度贡献为零，不必遍历）； ② 靠求解器换代（AMG 把泊松方程的 O(N²) 静电求和换成 O(N) 迭代）。 其余步骤本来就不贵，原样保留——这就是“原来的计算流程应用了新方法”的全貌。

感受一下差距：从“约 20 亿年”到“18 分钟”

假设 1000 原子的常规 DFT（第 5 课的“日常”规模）跑一次要 1 分钟（量级上成立）。 从 1000 原子到 1 亿原子，N 放大 10⁵ 倍：

O(N³) 和 O(N) 的差距不是“快一点”，而是“永远等不到”和“喝杯茶”的差距—— 这就是论文敢说 extreme-scale 的底气。

论文的实际账单（Fig. 2）

上表每一行都能对上上一节的对照表：子域个数 ∝ N，每个子域成本固定 （子域大小不随 N 增大）→ 总 O(N)、内存 O(N)。 观测量组装（Eq. 10-16：ρ、E_band、DOS、PDOS）全部用局部本征对 + 内部权重 c_n^α，同样 O(N)。 泊松方程用 AMG 预条件 CG 求解，O(N) 替代传统 O(N²) 静电求和。

目标：把 1–6 课串起来，能独立复述论文主线（教学验收）。

科学问题：全固态电池的界面之痛

LGPS（Li₁₀GeP₂S₁₂）是室温离子电导率纪录级的固态电解质，但与锂金属接触即发生还原分解， 界面长出电阻层并随循环增厚 → 商业化被卡。XPS 实验看到“界面有低化合价 Ge、P”，但原子级机理与 产物空间分布看不清；而界面相间层厚几十纳米（论文模型 57×44×90 nm），常规 DFT 只能算几纳米。 缺口（IV-C）：O(N³) 墙 + 现有 O(N) 方法不支持金属-绝缘多元素界面 + ML 力场给不出电子结构观测量。

方法链：三阶段工作流 + 三件套 + 硬件

• 三阶段工作流：① MLFF-MD（DeePMD）生成 1100 万原子平衡结构（300 K）→ ② XLSDFT 算电子结构 → ③ XPS 交叉验证
• 算法三件套（第 6 课）：密度矩阵 + 近视性/D&C（R_buffer ≈ 8–9.2 Bohr）+ CheFSI（m = 24）
• 实现：LineShine 超算（ARM LX2：304 核/节点 + 8 堆 HBM + SVE/SME）； 自研 BLAS/LAPACK 省 ~1 GB HBM/NUMA；SVE 优化 stencil 提速 3.2×；AMG 预条件泊松求解 （FP32 预条件 + FP64 外层）；全 FP64 主导，FP32/FP16 仅限辅助

性能结果（论文 Table III）

• 弱扩展：5.24M@1024 节点 → 104.86M@20480 节点，96.6% 效率，71.2 s/SCF
• 强扩展：固定 5.24M 原子，81.3% 效率（68.8 → 4.2 s/SCF）
• 内存 O(N)：200M 原子跑在同样 20480 节点（省出的 HBM 是关键）
• 前世界纪录：LS3DF 10M 原子（2024）→ 本工作 100M/200M，超一个量级

科学结果：计算与实验的首次定量互证

11,325,600 原子 Li/LGPS/Li 界面（90×44×57 nm），SCF 收敛（167 次迭代）。PDOS 分析显示： 低化合价 Ge、P 富集于界面，向体相衰减（类体相恢复 Ge⁴⁺/PS₄³⁻），且面内不均匀。 XPS 深度剖析（0/20/50 min Ar⁺ 溅射 = 界面/亚界面/类体相）独立验证同样的界面→体相趋势 ✅。 计算还额外解析了实验难测的面内异质性。结论给电池设计指明目标： 抑制界面还原 + 阻断电子泄漏。

波函数 ψ

描述量子粒子状态的函数；|ψ|² = 概率密度

薛定谔方程

Ĥψ = Eψ：找“能量确定的特殊状态”的方程

维度灾难

N 电子波函数是 3N 维函数，直接求解指数爆炸

电子密度 ρ(r)

3 维函数；HK 定理证明它决定一切

Kohn-Sham 方程

同密度无相互作用体系的单电子方程

交换关联 E_xc

DFT 唯一近似；LDA/GGA

SCF 自洽迭代

猜密度→建势→解方程→更新密度的循环

O(N³)

对角化成本：原子翻倍，计算量 ×8

密度矩阵 D

基本变量；对角元 = 密度

近视性

D(x,x′) 随距离指数衰减 → 可局部化

D&C 分而治之

核心区+缓冲层子域独立求解

CheFSI

切比雪夫滤波：不求对角化，只求占据子空间

DOS / PDOS

（投影）态密度：能级分布 / 按原子分解

XPS

X 射线光电子能谱：测化合价与结合能